Implizite Kurve

Eine implizite Kurve ist in der Mathematik eine Kurve in der euklidischen Ebene, die durch eine Gleichung der Form

${\displaystyle F(x,y)=0}$

beschrieben wird. Eine implizite Kurve ist also die Gesamtheit der Nullstellen einer Funktion von zwei Variablen. Implizit bedeutet, dass die Gleichung der Kurve nicht nach ${\displaystyle x}$ oder ${\displaystyle y}$ aufgelöst ist.

Funktionsgraphen werden in der Regel durch eine Gleichung ${\displaystyle y=f(x)}$ beschrieben und sind deswegen explizit dargestellte Kurven. Die dritte wichtige Beschreibung von Kurven ist die Parameterdarstellung: ${\displaystyle (x(t),y(t))}$. Dabei werden die ${\displaystyle x}$- und ${\displaystyle y}$-Koordinaten von Kurvenpunkten durch zwei von einem gemeinsamen Parameter abhängigen Funktionen ${\displaystyle x(t)\,,y(t)}$ beschrieben. Der Übergang von einer Darstellung zu einer anderen ist in der Regel nur einfach, wenn eine explizite Darstellung ${\displaystyle y=f(x)}$ vorliegt: ${\displaystyle y-f(x)=0}$ (implizit), ${\displaystyle (t,f(t))}$ (parametrisiert).

Beispiele impliziter Kurven:

1. eine Gerade: ${\displaystyle x+2y-3=0}$
2. ein Kreis: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-4=0}$
3. die Neilsche Parabel: ${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0}$
4. Cassini-Kurven ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})-(a^{4}-c^{4})=0}$ (siehe Bild),
5. ${\displaystyle \sin(x+y)-\cos(xy)+1=0}$ (siehe Bild).

Während die ersten drei Beispiele auch einfache Parameterdarstellungen besitzen, ist dies beim 4. und 5. Beispiel nicht der Fall. Beispiel 5) zeigt, dass eine implizite Kurve aus verwirrend vielen Teilkurven bestehen kann.

Man kann mit dem Satz über implizite Funktionen nachweisen, dass unter gewissen Voraussetzungen eine Gleichung ${\displaystyle F(x,y)=0}$ (theoretisch) nach ${\displaystyle x}$ und/oder nach ${\displaystyle y}$ auflösbar ist. Allerdings ist die Auflösung meistens praktisch unmöglich. Dieses theoretische Ergebnis ist aber der Schlüssel, um anhand der gegebenen Funktion ${\displaystyle F}$ wesentliche geometrische Eigenschaften wie Tangenten, Normalen und Krümmungen in bekannten Kurvenpunkten zu berechnen (s. unten). Dass implizite Kurven in der Praxis nicht sehr beliebt sind, liegt an einem großen Nachteil: Während man für eine parametrisierte Kurve oder Funktionsgraphen leicht beliebig viele Punkte berechnen kann, ist dies für implizite Kurven in der Regel nicht der Fall. Allerdings haben implizite Darstellungen von Kurven auch ihre Vorteile (s. unten).

Ist ${\displaystyle F(x,y)}$ ein Polynom in ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$, so nennt man die zugehörige Kurve algebraisch.

Beispiel 5) ist nicht algebraisch.

Bemerkung: Eine implizite Kurve mit der Gleichung ${\displaystyle F(x,y)=0}$ kann man zum besseren Verständnis auch als Niveaulinie der Höhe 0 der Fläche ${\displaystyle z=F(x,y)}$ auffassen (s. 3. Bild).